Ответы к разделу 2: дифференциальное исчисление функций одной переменной.

 

 

836.     10a³x-5x⁴.

837.     a/(a+b).

838.     2x-(a+b).

840.     x sin(2a) + cos (2a).

841.     mn[x^m-1 + x^n-1 + (m+n)x^m+n-1].

843.     -(1/x²+4/x³+9/x⁴).

844.

845.     2(1+x²)/(1-x²)².

846.     2(1-2x)/(1-x+x²)².

853.     (2/3)*x^1/3 + 1/x^4/3.

860.     [1+2sqrt x + 4sqrt x * sqrt(x+sqrt(x))]/8sqrt x * sqrt(x+sqrt x )*sqrt(x+sqrt(x+ sqrt x)).

863.     x² sin 2x.

884.     y [ln (a/b) – (a – b)/x].

886.     6/x lg e * lg² x² (x≠0).

888.     ¹/₆*x ln x ln(ln³ x) (x>e).

890.     x/(x⁴ - 1) ( |x| > 1 ).

892.     1/(3x² - 2).

894.     ½ *(1 + sqrt (x+1))  (x >1).

898.     sqrt(x² + a²).

913.     1/sqrt(4 – x²)  ( |x|<2 ).

914.     1/sqrt(1 + 2x – x²)  ( |x - 1|<sqrt 2)

915.     2ax/(x⁴ + a⁴)   (a≠0).

916.     1/(x² + 2)  (x≠0).

917.     sqrt(x)/(2 + 2x).

922.     2sgn(sin x)*cos x/sqrt(1 + cos² x)  (x≠2kπ, k - целое).

924.     sgn x/sqrt(1 – x²)   (0<|x|<1).

930.     (1 + x⁶)/(1 + x⁶).

934.     sqrt(a² – x²).

938.     - arccos(x)/x².

944.     ½ *1/sqrt(1 – x²).

948.     sin 2x/(sin⁴x + cos⁴x).

958.     2x[sgn(cos x²) + sgn(sin x²)]  (|x|≠kπ/2, k=0,1,2,...).

966.     -1/x * (log_x e)²   (x > 0, x≠1).

1039.   [(1-√t)^1/4/t*(1-t^1/3)]^1/6 (t >0, t≠0).

1040.   y_x= -1  (0<x<1).

1041.   y­_x= - b/a ctg t(0<|t|<π).

1044.   y_x=ctg t/2   (t≠2kπ, k- целое).

1051.   -sqrt(y/x).

1052.   -(y/x)^1/3.

1091.   vw du + uw dv + uv dw.

1092.   (v du – 2u dv)/v².

1099.   1,007    (по таблицам 1,0066).

1134.   u d²v + 2 du dv + v d²u.

1140.   y ^II = ¾ * 1/(1-t); y ^III = 3/8(1-t)³

1144.   y ^II =1/f ’’(t); y ^III =f ’’’(t)/f ’’³(t).

1156.   y⁽⁶⁾ = 4*6!; y⁽⁷⁾ = 0.

1157.   y ^III =- am(m + 1)(m + 2)/x^{m +3}.

1161.   y⁽²⁰⁾ = 2²⁰e^2x(x² + 20x +95).

1172.   -15/8*x³√x.

1326.   0,5.

1377.   1 + 2x + 2x² – 2x⁴ + o(x⁴).

1380.   x²/6 + x³ + o(x³).

1381.   1 + 2x + x² – 2x³/3 – 5x⁴/6 – x⁵/15 + o(x⁵).

1398.   -1/12.

1403.   ln² a.

1404.   ½.

1405.   0.

1477.   Нуль фнкции x = 0. Точка разрыва x = -1. Минимум у = 0 при х=0; максимум

у = - 9 ¹³/₂₇  при х = - 4. Асимптоты: х = -1 и у = -3.

1492.            Область существования функции: |х|≥1. Симметрия относительно Оу. Краевой минимум у = 0 при х =±1. Вогнутость вниз. Асимптоты: у = x/2 при x → + ∞ и

 y = -x/2 при x → - ∞.

1502.            Период функции: T = π; основная область [-π/2; π/2]. Симметрия относительно оси Oy. Нули функции: x₁ = 0 и x_2,3 = ±π/3. Минимумы у = 0 при х = 0 и у = -1 при

х = ± π/2; максимум у = 9/16 при x = ± arccos ¼ ≈ 0,21π. Точки перегиба:

х_1,2 = ±1/2 arccos (1 + √129)/16 ≈ ± 0,11π, y_1,2 ≈ - 0,29; x_3,4 = ± ½ arccos (1 - √129)/16 ≈

≈ ± 0,36π; y_3,4 = ≈ -0,24.

1512.            Область существования функции: х>0. Нуль функции: x = 1. Максимум y = 2/e ≈

≈ 0,74 при x = e² ≈ 7,39. Точка  перегиба: x = e^8/3 ≈ 14,33 , y 8/3 e^-4/3 ≈ 0,70. Асимптоты: х = 0 при x→ + 0 и у = 0 при x→ + ∞.

 

1518.            Симметрия относительно оси Oy. Функция не отрицательна; нуль х = 0. Минимум у = 0 при х=0. Вогнутость вверх. Асимптоты: у = -πx/2 - 1 при x → - ∞ и

 y = πx/2 при x → + ∞.